that's the spot

spotは、文字通り「スポット」という日本語になっています。

名所の意味の「スポット」、スポット放送の意味、スポットライトの意味など。

では、タイトルの"That's the spot."とは、どういう意味でしょうか。これは「とてもいい場所、居心地のいい場所」という意味です。この一文がセットです。

it's on me.

これは、「私がおごります」という意味。onには、～にツケをつける、という意味があります。

非常によく使う語のonに、意外な意味がありますね。

I'm taping

tapeは、動詞で「テープに録画（録音）する」という意味です。

なのて、タイトルは、「今、録画中です」という意味。しかし、この表現を見たのは、結構前の映画で、その時代はハードディスクレコーダーやDVDレコーダーがなかった時代。つまり、VHSテープに撮っていた時代。

今だと、単純に"I'm recording"というのでしょうか。いまだにCDショップをレコード屋といっても通じるのと同様に、DVDに録画してても、"I'm taping."といっても通じるのか、誰かに聞いてみたいと思います。

super

副詞のsuper（とても、超）は、すっかり同じだと思います。

・super typhoon
（超大型台風）

いろいろな名詞や形容詞の強調のために使われます。また、ほかの語とくっついて一語になっているもの（supersonic：超音速）もあります。

しかし、名詞のsuperもあります。それは、アパートの管理人のことです。おそらくsupervisorが略されたものと思われます。

be entitled to

be entitled toで、「～の権利がある」という意味です。

・You're entitled to hate me.
（君には僕を憎む権利がある、君が僕のことを憎むのは当然だね。）

このbe entitled toは、to 動詞も、to 名詞も、両方の形が使えます。文法的にちょっと面白い句ですね。